описанные Лосевым:
http://www.philosophy.ru/library/losef/iae8/txt30.htm
Привожу интересные выдержки
...всякий музыкальный консонанс, как и вообще все на свете, трактовался обязательно у пифагорейцев в виде определенного рода числовой конструкции. Но здесь важно и не только это. А важно то, что отношение кварты к основному тону пифагорейцы с давних времен толковали как отношение 4:3, отношение квинты – как 3:2 и отношение октавы – как 2:1. Как пифагорейцы могли прийти к таким – числовым – конструкциям? Ведь они же не обладали настолько точными измерительными приборами, чтобы получать такие точные данные...ни о каких волнах античность не имела никакого представления. Как же это вдруг получилось – и притом в самые древние времена, – что кварте, квинте и октаве были приписаны такие точные, подтвержденные современной акустикой числовые соотношения?
В древности (Никомах, Гауденций и Боэций) фигурировал рассказ о том, как Пифагор, проходя однажды мимо кузницы, заметил, что четыре различных по весу молота при ударе их по железу издавали тоны, равные кварте, квинте и октаве. Этот анекдот далее гласил, что Пифагор взвесил эти молоты; и оказалось, что их веса относятся между собою как 6:8:9:12. Отношение 12:6 (или 2:1) равнялось музыкальной октаве, отношение 9:6 (или 3:2) – квинте и отношение 8:6 (или 4:3) – кварте. Фантастический характер подобного сообщения ясен сам собою, поскольку трудно предположить, чтобы молоты в кузнице действительно находились между собою в таком гармоническом отношении как по весу, так и по тону.
...Интеллектуальная теория числа тоже находила для себя самое почетное место у пифагорейцев, отнюдь не меньшее, а, скорее, даже большее, чем экспериментальные приемы. Скажем об этом несколько подробнее.
а) Простейшая арифметическая операция заключалась просто в интерпретации первых четырех чисел натурального ряда ввиду общепризнанного для всех пифагорейцев принципиального значения "тетрады", или "тетрактиды", то есть "четверицы". В самом деле, что такое отношение 2:1? Уже простейшее звуковое восприятие обнаруживало определенного рода повторяемость звуков, то есть определенного рода соотношение звуков. В тоне, который был на октаву выше основного тона, находили тот же самый основной тон, но только повторенный на большей высоте. Здесь само собой напрашивается соотношение 2:1.
Точно так же при переходе от 2 к 3 само собой возникало и переживание отношения 3:2, как и далее – отношение 4:3. Эти отношения в области первой четверицы были не только первичными и сами собой очевидными, но и наиболее истинными, наиболее красивыми. А так как слух требовал самой высокой гармонической оценки именно квинты и кварты, причем кварта явно была меньше квинты, то и получалось, что уже первичная четверица содержала в себе отношения и октавы, и кварты, и квинты. Тут уже не нужно было производить те или другие эксперименты. Тут нужно было исходить только из двух моментов, а именно, из чисто слуховой оценки музыкальных консонансов и из того абсолютного соотношения чисел, которые содержались уже в первичной тетрактиде. Эти две очевидности, музыкально-слышимая и числовым образом мыслимая, должны были во что бы то ни стало отождествляться. И это ровно без всяких научно поставленных экспериментов.
б) ...при умножении 3/2 × 4/3 получалось именно 2/1, то есть 2. Заметим при этом, что речь шла у пифагорейцев именно о перемножении двух дробей, а не об их сложении, поскольку при их сложении получалась бы механическая последовательность интервалов, в то время как при их умножении обе дроби не остаются внешне противопоставленными, но повторяют и развивают одна другую.
Наконец, важно отметить еще и то, что при отношении 3/2 : 4/3 появляется еще новое отношение – 9/8. А это является числовым выражением целого тона. Сейчас мы увидим, что здесь появлялся еще новый оттенок музыкальной гармонии, который указывал уже на наличие здесь определенного рода симметрии.
в) Именно, если квинта отличается от кварты на один тон, то всю октаву можно представить себе как наличие двух кварт, которые отделены друг от друга целым тоном. Другими словами, посредине мы имеем целый тон как ось симметрии, а по бокам – равные одна другой кварты. Получается, таким образом, весьма отчетливая и вполне безупречная симметрия. Музыкальная октава мыслилась как точная числовая симметрия.
г) На основе пифагорейского теоретико-числового учения о гармонии формулировался еще один тип симметрии, в отличие от предыдущего типа который можно было бы назвать динамическим типом симметрии. Это – то, что впоследствии получило название золотого деления. В самой общей форме этот закон золотого деления гласил: величина, взятая вся целиком, так относится к своей большей части, как эта большая часть относится к меньшей части той же величины. Динамической эту симметрию мы назвали бы потому, что она формулирует постепенный переход от целого к части; и так как этих частей может быть сколько угодно, то ясно, что в порядке постепенности ими исчерпывается вся величина, взятая в целом, и исчерпывается путем постепенного перехода от большей части целого к его меньшей части.
Возьмем те числовые данные, которые, как мы видели выше, были установлены у пифагорейцев для кварты, квинты и октавы, а также и для целого тона. Если исходный тон принять за 1, то, как мы видели, октавой будет число 2. Если иметь в виду числовую характеристику квинты как 3:2, то мы получаем следующее вполне очевидное и убедительное равенство:
2 : 3/2 = 3/2 : 9/8
Это выражение, очевидно, гласит, что октава так относится к квинте, как квинта к целому тону. И поскольку тут имеется в виду отношение большей и меньшей части целого, то, очевидно, указанное выражение есть не что иное, как арифметическое, и, как увидим ниже, только арифметическое и больше ничего другого, выражение закона золотого деления.
То же самое мы получаем и для кварты:
2 : 4/3 = 4/3 : 8/9
Наконец, среди теоретико-числовых операций в области музыкальной гармонии у пифагорейцев имела место еще и теория трех пропорций.
а) Первая пропорция, арифметическая, есть такое соотношение чисел, когда разница Между двумя числами одной пары равняется разнице чисел другой пары. Если октаву представить себе в виде 7 тоновых промежутков, а квинту – в виде четырех таких же промежутков, то получается такая ясная пропорция: 7 – 4 = 4 – 1. Это значит, что полная октава на столько же тонов превосходит квинту, на сколько сама квинта превосходит один тон.
б) Что касается геометрической пропорции, то и она характеризует собою в максимально очевидной форме тоже определенного рода числовые отношения. Именно, 2:1 = 4:2. Установлена пропорция 1 : 4/3 = 3/2 : 2. Другими словами, помещение двух кварт по бокам одного центрального тона числовым образом понималось как установление геометрической пропорции: во сколько раз кварта больше исходного тона, во столько же раз октава больше квинты.
в) Наконец, Архит установил еще и так называемую гармоническую пропорцию. Она заключалась в том, что на какую часть первой величины вторая превосходила первую, на такую же часть третьей величины эта третья превосходила вторую. Или (a-b):(b-c) = a:c. Нетрудно сообразить, что здесь имелась в виду именно кварта, которая и получалась в результате установления такого рода пропорции – (2 – 4/3):(4/3 – 1) = 2:1. Итак, положение кварты в октаве понималось при помощи применения гармонической пропорции.
http://www.philosophy.ru/library/losef/iae8/txt30.htm
